x²+2x+y²-6y+4z^2-4z+11=0

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-6y+9\right)+\left(4z^2-4z+1\right)=0\)

<=>(x+1)²+(y-3)²+(2z-1)²=0

Vì (x+1)^2\(\ge\)0;(y-3)^2\(\ge\)0;(2z-1)²\(\ge\)0 => (x+1)²+(y-3)²+(2z-1)²\(\ge\)0

Dấu "=" xảy ra khi (x+1)²=(y-3)²=(2z-1)²=0 <=> x+1=y-3=2z-1=0 <=> x=-1;y=3;z=1/2

Bài làm:

Ta có: \(x^2+2x+y^2-6y+4z^2-4z+11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-6y+9\right)+\left(4z^2-4z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(2z-1\right)^2=0\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2=0\\\left(y-3\right)^2=0\\\left(2z-1\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=3\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Xin lỗi mk nhầm đoạn cuối là: \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=3\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\) nhé:)

<=>x²+2x+1+y²-6y+9+4z²-4z+1=0

<=>(x²+2x+1)+(y²-6y+9)+(4z²-4z+1)=0

<=>(x+1)²+(y-3)²+(2z+1)²=0       (1)

Từ (1) <=> (x+1)²=0 <=> x+1=0 <=>x=-1

                  (y-3)²=0 <=>y-3=0 <=>y=3

                  (2z+1)²=0 <=>2z+1=0 <=> z=-1/2

\(\Leftrightarrow x^2+2x+1+y^2-6x+9+4z^2-4z+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(2z-1\right)^2=0\)(1)

VT(1) >= 0  với mọi x;y;z nên để đẳng thức (1) xảy ra thì: x = -1; y = 3; z = 1/2.

1.

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n - 1; n; n + 1; n + 2 (n ∈ N*)

Ta có: A = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 1

= (n² - 1)(n² + 2n) + 1

= n⁴ + 2n³ - n² - 2n + 1

= (n² + n - 1)² => đpcm

2.

Ta có: x² + 2x + y² - 6y + 4z² - 4z + 11 = 0

x² + 2x + 1 + y² - 6y + 9 + 4z² - 4z + 1 = 0

(x + 1)² + (y - 3)² + (2z - 1)² = 0

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y-3=0\\2z+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=3\\z=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy (x, y, z) ∈ {(-1, 3, \(\frac{-1}{2}\))}

x² + 2x + y² - 6y + 4z² - 4z + 11 = 0

<=> ( x² + 2x + 1 ) + ( y² - 6y + 9 ) + ( 4z² - 4z + 1 ) = 0

<=> ( x + 1 )² + ( y - 3 )² + ( 2z - 1 )² = 0 (*)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\\\left(y-3\right)^2\ge0\forall y\\\left(2z-1\right)^2\ge0\forall z\end{cases}}\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(2z-1\right)^2\ge0\forall x,y,z\)

Dấu "=" xảy ra tức (*) <=> \(\hept{\begin{cases}x+1=0\\y-3=0\\2z-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=3\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy ...

6x bạn ơi

bạn xen lại đề còn thíu j ko nhé

3) Ta có: \(A=3x^2-6x+1\)

\(=3\left(x^2-2x+\frac{1}{3}\right)\)

\(=3\left(x^2-2x+1-\frac{2}{3}\right)\)

\(=3\left(x-1\right)^2-2\)

Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow3\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow3\left(x-1\right)^2-2\ge-2\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-1=0

hay x=1

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=3x^2-6x+1\) là -2 khi x=1

4) Sửa đề: \(\left(a+2\right)^2-\left(a-2\right)^2\)

Ta có: \(\left(a+2\right)^2-\left(a-2\right)^2\)

\(=\left(a+2-a+2\right)\left(a+2+a-2\right)\)

\(=4\cdot2a⋮4\)(đpcm)